定義與作用：

當有兩個或者兩個以上的因素對因變數產生影響時，可以用多因素方差分析的方法來進行分析。多因素方差分析亦稱“多向方差分析”，原理與單因素方差分析基本一致，也是利用方差比較的方法，通過假設檢驗的過程來判斷多個因素是否對因變數產生顯著性影響。在多因素方差分析中，由於影響因變數的因素有多個，其中某些因素除了自身對因變數產生影響之外，它們之間也有可能會共同對因變數產生影響。

在多因素方差分析中，把因素單獨對因變數產生的影響稱之為“主效應”；把因素之間共同對因變數產生的影響，或者因素某些水準同時出現時，除了主效應之外的附加影響，稱之為“交互效應”。多因素方差分析不僅要考慮每個因素的主效應，往往還要考慮因素之間的交互效應。

此外，多因素方差分析往往假定因素與因變數之間的關係是線性關係。從這個方面來說，方差分析的模型也是如下一個一般化線性模型的延續：

1. 在無交互效應的情況下：因變數=因素 1 主效應+因素 2 主效應+…+因素 n 主效應+隨機誤差

2. 在有交互效應的情況下：因變數=因素1主效應+因素2主效應+…+因素n主效應+因素交互效應1+因素交互效應2+…+因素交互效應m+隨機誤差。

所以多因素方差分析往往選用一般化線性模型(General Iinear Model)進行參數估計。

基本假設：

以三因素方差分析為例：

設有三個因素A，B，C，因素A取r個水準，分別記為A₁，A₂，，A_r；因素B取S個水準，分別記為B₁，B₂，…，B_s；因素C取t個水準，分別記為C₁，C₂，…，C_t。在水準組合(A_i，B_j，C_k)下樣本相互獨立，且

其中，i =1,2,…,r;j = 1,2,…,s;k = 1,2,…,t.稱μ為一般平均，α_i為因素A的第i個水準的效應，β_j為因素B的第j個水準的效應，γ_k為因素C的第K和水準的效應。顯然，α_i，β_j，γ_k滿足如下關係式：

2. 構造檢驗統計量

則：因素A產生的誤差平方和為：

因素B產生的誤差平方和為：

4. 檢驗規則

若 F_A > F_1-α(r-1，(r-1)(s-1)(t-1) + (r-1)(t-1) + (r-1)(s-1) + (s-1)(t- 1))，則拒絕 H₀₁ ,表示在因素 A 的各水準下的效應有顯著差異;

若 F_B > F_1-α(s-1，(r-1)(s-1)(t-1) + (r-1)(t-1) + (r-1)(s-1) + (s-1)(t- 1))，則拒絕 H₀₂ ,表示在因素 B 的各水準下的效應有顯著差異;

若 F_C > F_1-α(k-1，(r-1)(s-1)(t-1) + (r-1)(t-1) + (r-1)(s-1) + (s-1)(t- 1))，則拒絕 H₀₃ ,表示在因素 C 的各水準下的效應有顯著差異。

參考文獻：

• 郭萍.三因素方差分析的原理及应用[J].沈阳大学学报(自然科学版),2015,27(1):40-43.